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子集个数

求有限集的子集个数问题,有以下结论:

结论1 :含有 `n` 个元素的集合\(A = \left\{ {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}} \right\}\)的子集个数为\({2^n}\),真子集个数为 `2^n-1`,非空子集个数为 `2^n-1`,非空真子集个数为 `2^n-2`  \(({\rm{n}} \in {{\rm{N}}^ \star }\))

结论2 : 设 $m,n\in {{N}^{*}}~~,~m<n~~,B=\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right\}$,则有,

①满足\(\left\{ {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_m}} \right\} \subseteq A \subseteq \left\{ {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}} \right\}\)的集合 `A` 的个数是\({2^{n - m}}\);

集合间的关系

集合与集合之间的关系有: 包含、不包含、相等、真包含等关系.

1.包含关系

(1)子集关系

如果集合 `A` 的任何一个元素都是集合 `B` 的元素,我们就说集合 `A` 包含于集合 `B` ,或集合 `B` 包含集合 `A`,记作 `A\subseteq B`.这时,我们也说集合 `A` 是集合 `B` 的 子集.任何一个集合是它本身的子集.

(2)真子集关系

如果 `A` 包含于 `B`,且 `A≠B`,则集合 `A` 是集合 `B` 的 真子集, 记作 `A \subsetneqq  B`.

包含关系具有传递性, 如果 `A\supseteq B` , `B\supseteq C` ,则 `A\supseteq C`.

集合运算中常用的结论

1集合中的逻辑关系

(1)交集的运算性质.

\(A \cap B = B \cap A\),\(A \cap B \subseteq A\),\(A \cap B \subseteq B\)  ;   \(A \cap I = A\),\(A \cap A = A\),\(A \cap \emptyset  = \emptyset \).

(2)并集的运算性质.

\(A \cup B = B \cup A\),\(A \subseteq A \cup B\),\(B \subseteq A \cup B\)  ;   \(A \cup I = I\),\(A \cup A = A\),\(A \cup \emptyset  = A\).

(3)补集的运算性质.

集合

集合  简单的讲就是"一堆放在一起的东西的整体". 集合并没有严格的数学定义, 但它又像"数"一样是基本的数学概念, 它是集合论的研究对象.集合论的基本理论直到十九世纪末才被德国数学家康托尔创立,现在已经是数学教育中一个普遍存在的部分,在小学时就开始学习了.这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍;更详细的分析可见朴素集合论. 对集合进行严格的公理推导可见公理化集合论.

1.元素 一般地,我们把研究对象统称为元素. 元素(element),集合的元素一般用小写拉丁字母 `a,b,c……` 表示.

康托尔

格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔(GeorgFerdinandLudwigPhilippCantor,1845年3月3日-1918年1月6日),出生于俄国的德国数学家(波罗的海德国人)。创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。他还提出了集合的势和序的概念。由于研究成果得不到认可,并受到以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家的长期攻击,患抑郁症,最后精神失常。自1869年任职于哈勒大学,直到1918年,在德国哈勒大学附属精神病院去世。康托尔 成长吧啊

当代数学家绝大多数接受康托尔的理论,并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说:“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”

双曲线

  • 双曲线

(1)双曲线的定义

双曲线定义1  平面内与两个定点 `F_1、F_2` 的距离的差的绝对值等于常数(小于 `|F1F2|`)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点).

双曲线定义2  动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 `e~(e>1)` 时,这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点).

(2)双曲线标准方程的图像及性质

等差数列

等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母`d`表示.

等差数列的图象:在直角坐标系中,等差数列的图象是线性等距离的离散点集.
当 `d>0` 时,等差数列图象为:

等差数列图象,成长吧啊

当 `d<0` 时,等差数列图象为:

埃尔米特

不会考试的数学大师

作者:鲁先圣

他是十九世纪人类社会最伟大的代数几何学家,曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。他是法兰西科学院院士,在函数论、高等代数、微分方程等方面都有重要发现。他在1858年利用椭圆函数首先得出五次方程的解,1873年证明了自然对数的底e的超越性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念很多,如“埃尔米特二次型”、“埃尔米特算子”等。夏尔·埃尔米特

二面角

半平面定义: 平面内的一条直线,把这个平面分成两部分, 其中的每一部分都叫做半平面.二面角

二面角的定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.

几何证明选讲

1. 平行线等分线段定理

平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.

推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.

2. 平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

3. 相似三角形的判定及性质

定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比. 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似. 

判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.

等比数列

等比数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比,公比通常用字母 `q` 表示 ` (q≠0)`.

等比中项:与等差中项的概念类似,如果在 `a` 与 `b` 中间插入一个数 `G`,使 `a,G,b` 成等比数列,那么 `G` 叫做 `a` 与 `b` 的等比中项.

如果 `G` 是 `a` 与 `b` 的等比中项,那么 ` \frac{G}{a}=\frac{b}{G} `,即 `G^2=ab`, 因此, `G=±\sqrt{ab}`

反过来,如果 `a,b` 同号,`G` 等于 `\sqrt{ab}` 或 `-\sqrt{ab}`,即 `G^2=ab`,那么 `G` 是 `a、b` 的等比中项.

吴文俊

著名数学家吴文俊:探秘数海乐无涯

吴文俊,1919年出生于上海,现任中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所名誉所长,研究员,中国科学院院士,第三世界科学院院士。

吴文俊,成长吧啊吴文俊对数学的主要领域——拓扑学做出了杰出贡献。他引进的示性类和示嵌类被称为“吴示性类”和“吴示嵌类”,他导出的示性类之间的关系式被称为“吴公式”。他的工作是上世纪50年代前后拓扑学的重大突破之一,成为影响深远的经典性成果。上世纪70年代后期又开创了崭新的数学机械化领域,提出了用计算机证明几何定理的“吴方法“,被认为是自动推理领域的先驱性工作。这些成果不仅对数学研究影响深远,还在许多高科技领域得到应用。

二项分布

  • 二项分布

条件概率  一般地, 设 `A, ~B` 为两个事件, 且 `P(A)>0`, 称

`P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}`

为在事件 `A` 发生的条件下, 事件 `B` 发生的 条件概率(conditional probability). `P(B|A)` 读作 `A` 发生的条件下 `B`发生的概率.

条件概率的概率性质:

(1)任何事件的条件概率都在 `0` 和 `1` 之间, 即 `0\leqslant P(B|A)\leqslant 1`.

(2)如果 `B` 和 `C` 是两个互斥事件, 则 `P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)` .

事件的相互独立性

相互独立事件 

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