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是一个用作计数、标记或用作量度的抽象概念,是比较同质或同属性事物的等级的简单符号记录形式(或称度量)。代表数的一系列符号,包括数字、运算符号等统称为记数系统。在日常生活中,数通常出现在在标记(如公路、电话和门牌号码)、序列的指标(序列号)和代码(ISBN)上。在数学里,数的定义延伸至包含如分数、负数、无理数、超越数及复数等抽象化的概念。

起初人们只觉得某部分的数是数,后来随着需要,逐步将数的概念扩大;例如毕达哥拉斯认为,数必须能用整数和整数的比表达的,后来发现无理数无法这样表达,引起第一次数学危机,但人们渐渐接受无理数的存在,令数的概念得到扩展。

数的算术运算(如加减乘除)在抽象代数这一数学分支内被广义化成抽象数字系统,如群、环和体等。

数的诞生

数起源于原始人类用来数数计数的记号形成自然数“数”的符号,是人类最伟大的发明之一,是人类精确描述事物的基础。在人类漫长的历史进程中,

坐标系

  • 平面上的伸缩变换

设点 `P(x,y)` 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 `\phi : \begin{cases} x' = \lambda \cdot x,(\lambda > 0), \\ y' = \mu \cdot y,(\mu > 0). \end{cases} `  的作用下,点 `P(x,y)` 对应到点 `P'(x',y')`,称 `\phi` 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

赵爽

赵爽,一名婴,字君卿,是中国在三国时期吴国的数学家。生卒年不详,是否生活在三国时代其实也受质疑,著有《周髀算经注》,即对《周髀算经》的详细注释.

赵爽勾股圆方图

赵爽勾股圆方图

生平

依记载赵爽曾研究过东汉张衡关于天文学的著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》。

约在公元222年,赵爽深入研究《周牌算经》,并写了序言及详细注释,其中有530余字对《勾股圆方图》的注文,即《勾股圆方图说》,是数学史上具有价值的文献。

数学上的贡献

《周髀算经》的《勾股圆方图》

费马点

费马

在几何学中,费马点是位于三角形内的一个点。给定一个三角形 `△ABC` 的话,从这个三角形的费马点 `P` 到三角形的三个顶点 `A、B、C` 的距离之和费马点

`PA+PB+PC`

比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题,而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题,并系统地进行了推广,因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点,相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

源起:费马的问题

27.这里有个与你的问题有关且早已解决的问题

  • 27.这里有个与你的问题有关且早已解决的问题

这是个好消息;有个问题的解答是已知的,且与我们当前的问题有联系,这当然值得欢迎。如果这联系是紧密的并且解答很简单,那就更受欢迎了。很 有可能,这样一个问题可用来解决我们当前的问题。

这里所讨论的情况是典型而重要的。为了看得更清楚,我们把它与利用辅 助问题从而解决问题的情况相比较。在这两种情况下,我们的目标都是解决某 个问题A,但我们却引人并考虑另一个问题B,希望它对解题A有利。差别在于对 B的关系不同。这里,我们是想到一个老问题B,我们知道它的解但不知道如何 利用它。那里,我们是创造了一个新问题B,我们知道(至少是强烈地猜测到) 如何利用它,但目前还不知道如何解它。我们关于B的困难形成了两种情况问的 所有差别。当我们克服了这个困难,在这两种情况下我们可以以同样的方式利 用B;可以利用它的结果或方法[“辅助问题”一节第(3)点中有说明].而且如 果我们运气好,可以同时利用它的结果和方法。在这里所考虑的情况下,我们 对B的求解很清楚,但目前还不知道如何加以利用。因此,我们问:你能利用它 吗?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?

22.由电视剧《暗算》所想到的 — 谈谈密码学的数学原理

数学之美系列二十二:由电视剧《暗算》所想到的 — 谈谈密码学的数学原理

不管怎么样,我们今天用的所谓最可靠的加密方法的数学原理其实就这么简单,一点也不神秘,无非是找几个大素数做一些乘除和乘方运算就可以了。

前一阵子看了电视剧《暗算》,蛮喜欢它的构思和里面的表演。其中有一个故事提到了密码学,故事本身不错,但是有点故弄玄虚。不过有一点是对的,就是当今的密码学是以数学为基础的。(没有看过暗算的读者可以看一下介绍,http://ent.sina.com.cn/v/2005-10-17/ba866985.shtml
因为我们后面要多次提到这部电视剧。)

密码学的历史大致可以推早到两千年前,相传名将凯撒为了防止敌方截获情报,用密码传送情报。凯撒的做法很简单,就是对二十几个罗马字母建立一张对应表,比如说
    
成长吧啊

优选法阅读

优选法

  • 一个真实案例

某电子管厂从仓库中清出了积压多年的几百万米某种“废”金属丝。为了使得这些废金属丝能够重新被利用,科研人员经过研究发现,找出准确的退火温度是使该废金属丝复活的关键。 由经验知道,退火温度的范围为\([{1400^ \circ }C,{1600^ \circ }C]\),因此,试验范围为\([{1400^ \circ }C,{1600^ \circ }C]\)。如果不考虑其他次要因素,则该金属丝的质量指标\(f(t)\)是温度\(t\)的函数,其中\(t \in [1400,1600]\)。由于目标函数\(f(t)\)的具体表达式不知道,因此,该问题的关键在于能否通过次数尽量少的调温试验,求出满足一定精度条件下的最佳退火温度。

华罗庚先生70年代初期支援大西南三线建设期间的一个案例)

斐波那契数列

生小兔问题——斐波那契数列

13世纪初,意大利比萨的一位叫伦纳德,外号为斐波那契(Fibonacci)的数学家在一本题为《算盘书》的数学著作中提出下面一个有趣的问题:

兔子出生以后两个月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄),假如养了初生的小兔一对,试问一年后共有多少对兔子(如果生下的小兔都不死)?

我们来推算一下,如下表所示:

优选法

优选法
一 什么叫优选法
二 单峰函数
三 黄金分割法——0.618法
1.黄金分割常数
2.黄金分割法——0.618法
阅读与思考 黄金分割研究简史
四 分数法
1.分数法
阅读与思考 斐波那契数列和黄金分割
2.分数法的最优性
五 其他几种常用的优越法
1.对分法
2.盲人爬山法
3.分批试验法
4.多峰的情形
六 多因素方法
1.纵横对折法和从好点出发法
2.平行线法
3.双因素盲人爬山法
第二讲 试验设计初步
一 正交试验设计法
1.正交表
2.正交试验设计
3.试验结果的分析
4.正交表的特性
二 正交试验的应用

 

 

格兰迪级数

格兰迪级数(Grandi's series),即 `1 − 1 + 1 − 1 + …`,是在1703年由意大利数学家格兰迪发表的,后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作

`\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n`

它是一个发散级数,也因此在一般情况下,这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时,就会有特定的“和”出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为 `\tfrac{1}{2}` .

历史上的一些错误解法

针对以下的格兰迪级数

`1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …`

一种求和方式是求它的裂项和:

`(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0`.

但若调整括号的位置,会得到不同的结果:

`1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1`.

用不同的方式为格兰迪级数加上括号进行求和,其级数和可以得到0或是1的值。

希尔伯特

大卫·希尔伯特(David Hilbert,1862年1月23日-1943年2月14日),德国数学家,是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡,1943年在德国哥廷根逝世。他因为发明了大量的思想观念(例:不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间)而被尊为伟大的数学家、科学家。

希尔伯特 成长吧啊

希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献。他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一。他提出了希尔伯特空间的理论,是泛函分析的基础之一[1]。。他热忱地支持康托的集合论与无限数。他在数学上的领导地位充分体现于:1900年,在巴黎的国际数学家大会提出的一系列问题(希尔伯特的23个问题)为20世纪的许多数学研究指出方向。

数学名言

他山之石,可以攻玉。学习大师,感受大师。 普罗克洛斯说:“哪里有数,哪里就有美”。通过数学大师们的深切而富有哲理的感悟,可以提升对数学,这一集真善美于一身的学科的认识和敬畏。

数学美

基本不等式

定理1 (均值不等式)如果 `a,~b\in R`, 那么 `a^2+b^2 \geqslant 2ab`, 当且仅当 `a=b` 时, 等号成立.

定理2 (基本不等式) 如果 `a,~b>0`, 那么 `\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}`, 当且仅当 `a=b` 时, 等号成立.

如果 `a,~b` 都是正数, 我们就称 `\frac{a+b}{2}` 为 `a, b` 的算术平均, `\sqrt{ab}` 为 `a,~b` 的几何平均. 

两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.

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