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焦半径公式

  • 焦半径公式

根据圆锥曲线的统一定义,可得下列结论:

一、椭圆焦半径公式

椭圆 `\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)` 的焦半径公式:

`P({x_0},{y_0})` 是椭圆上任一点, `{F_1}( - c,0),`  `{F_2}(c,0),` 则 `\left| {P{F_1}} \right| = a + e{x_0},\left| {P{F_2}} \right| = a - e{x_0}` ,其中 `e` 是椭圆的离心率.

证明:

方法一: 用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式

由两点间距离公式,可知

$$|PF_1|=\sqrt{(x_0+c)^2+y^2} \cdots ①$$

向量与三角形内心、外心、重心、垂心

(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1;

(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;

(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;

(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等.

  • 三角形四心与向量的结合

1.重心

正三棱锥

1. 底面是正三角形.

2. 侧面是三个全等的等腰三角形.

3. 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心).

4.大用处的四个直角三角形(见图).

(1)斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形;(含侧棱与底边夹角)

(2)高、斜高、斜高射影构成的直角三角形;(含侧面与底面夹角)

(3)高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形;(含侧棱与底面夹角)

(4)斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形.

说明:上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素.在正三棱锥计算题中,常常取上述直角三角形.其实质是,不仅使空间问题平面化,而且使平面问题三角化,还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中,利于解出.

正四面体

正三棱锥是锥体中底面是等边三角形,三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥.正四面体

正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是全等的等边三角形.

对于棱长为 `a` 的正四面体,有:

(1)全面积 `S_全=\sqrt 3 {a^2}`;

(2)体积  `V=\frac{\sqrt 2 }{12}{a^3}`;

(3)对棱中点连线段的长    `d= \frac{{\sqrt 2 }}{2}a`;(此线段为对棱的距离,若一个球与正四面体的6条棱都相切,则此线段就是该球的直径.)

参数方程

参数方程的概念: 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 `x,y` 都是某个变数 `t` 的函数 `\begin{cases}x =f(t),\\y=g(t). \end{cases}` 并且对于 `t` 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 `M(x,y)` 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 `x,y` 的变数 `t` 叫做参变数,简称参数.

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

圆锥曲线与方程

  • 圆锥曲线

圆锥曲线(英语:conic section),又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线,是数学、几何学中通过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括圆,椭圆,抛物线,双曲线及一些退化类型.

圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了,其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯,那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究.

圆锥曲线,成长吧啊,数学

抛物线

  • 抛物线

(1)抛物线定义  平面内与一个定点 `F` 和一条定直线 `l` 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 `F` 叫做抛物线的焦点,定直线 `l` 叫做抛物线的准线

(2)抛物线标准方程的图像及性质

椭圆

  • 椭圆

(1)椭圆的定义

椭圆定义1  平面内一个动点到两个定点 `F_1,~F_2`的距离之和等于常数(大于 `\left|F_1F_2 \right|`)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse), 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆定义2  点 `M` 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 `e~(e=\frac{c}{a},~0<e<1)`, 这个点的轨迹是椭圆. 

(2)椭圆标准方程的图像及性质

曲线系

  • 曲线系

设有两相交曲线的方程为 `f(x,y) = 0,g(x,y) = 0` ,则 `kf(x,y) + g(x,y) = 0` 表示过交点的曲线,当 `k` 变化时,它们就形成了一个曲线系.

(1)设有两相交直线 `{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0` ,则 `k({a_1}x + {b_1}y + {c_1}) + ({a_2}x + {b_2}y + {c_2}) = 0` 表示过两直线交点的直线系;

直线间的夹角

  • 直线间的夹角

到角公式

 `{l_1}` 到 `{l_2}` 的角: `{l_1}` 绕交点依逆时针方向旋转到与 `{l_2}` 重合时所旋转的最小正角.设此角为 `\theta ` , `{l_1},{l_2}` 的斜率分别为 `{k_1},{k_2}` ,则$$\tan \theta  = \frac{{{k_2} - {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}},$$ `{l_1}` 到 `{l_2}` 的角与 `{l_2}` 到 `{l_1}` 的角度是互补的.

计数原理

分类加法计数原理:  做一件事情,完成它可以有 `n` 类办法,在第一类办法中有 `m_1` 种不同的方法,在第二类办法中有 `m_2` 种不同的方法,……,在第 `n` 类办法中有 `m_n` 种不同的方法, 那么完成这件事共有 `N=m_1+m_2+ \cdots +m_n` 种不同的方法.

  • 分步乘法计数原理

分步乘法计数原理: 做一件事情,完成它需要分成 `n` 个步骤,做第一步有 `m_1` 种不同的方法,做第二步有 `m_2` 种不同的方法,……,做第 `n` 步有 `m_n` 种不同的方法,那么完成这件事有 `N=m_1×m_2× \cdots × m_n` 种不同的方法.

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