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随机变量及其分布

  • 离散型随机变量及分布

离散型随机变量  取值可以一一列出的随机变量, 称为离散型随机变量.

概率分布列  设 `X` 是一个离散随机变量,如果 `X` 的所有可能取值是 `x_1,x_2,...x_n,..,` 则称 `X ` 取 `x_i` 的概率 `p_i=p(x_i)=P(X=x_i),i=1,2,...,n,...` 为 `X` 的概率分布列或简称为分布列,记为 `X\sim \{p_i\}`. 

两点分布  又叫 `0-1` 分布, 由于只有两种可能结果的随机试验叫伯努利试验, 所以这种分布又叫 伯努利分布. 成功概率为 `p=P(X=1)` .  

几何概型

几何概率模型  如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models probability),简称为几何概型.

在几何概型中, 任意事件 `A` 的概率为 $$ P(A)= \dfrac {构成事件 A 的区域长度(面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}. $$


几何概型:

概率

必然事件 一般地, 把在条件 `S` 下, 一定会发生的事件, 叫做相对事件 `S` 的 必然事件(certain evevt), 简称必然事件.

不可能事件 在条件 `S` 下, 一定不会发生的事件, 叫做相对于事件 `S` 的 不可能事件(impossible event), 简称不可能事件.

确定事件 必然事件与不可能事件统称为相对于条件 `S` 的 确定事件, 简称确定事件.

随机事件 在条件 `S` 下可能发生也可能不发生的事件, 叫做相对于条件 `S` 的 随机事件(random event), 简称随机事件. 

古典概型

基本事件 基本事件是在一次测试中所有可能发生的基本结果中的一个, 它是不能再分割的简单随机事件.

基本事件的特点: ①基本事件相互之间是互斥的; ②除不可能事件外, 其它事件都可以表示成基本事件的和.

古典概率模型  (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型.

在古典概型中, 任意事件 `A` 的概率为 $$ P(A)= \dfrac {A包含的基本事件的个数}{基本事件的总数}. $$

组合

组合的定义:  从 `n` 个不同元素中取出 `m(m\leqslant n)` 个元素组成一组,而不考虑其元素的顺序,称为从 `n` 个不同元素中取 `m` 个元素的一个组合(combination).

组合数的定义:  从 `n` 个不同元素中取出 `m(m\leqslant n)` 个元素的所有不同的个数,称为从 `n` 个不同元素中取 `m` 个元素的一个组合数, 用符号 `C_n^m` 表示.[1]

[1] `C`是英文combination(组合)的第一个字母,  组合数还可以用符号 `\dbinom{n}{m}` 表示.

排列

排列的定义: 从 `n` 个不同元素中,任取 `m(m\leqslant n)` 个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 `n` 个不同元素中取出 `m` 个元素的一个排列.

说明:

(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列;

(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同.

排列数的定义: 从 `n` 个不同元素中,任取 `m(m\leqslant n)` 个元素的所有排列的个数叫做从 `n` 个元素中取出 `m` 个元素的排列数,用符号 `A_n^m` 表示.

重复元素的全排列

在 `m` 个元素中,有 `{n_1}` 个元素相同,又另有 `{n_2}` 个元素相同,...,一直到另有 `{n_r}` 个元素相同,且 $${n_1} + {n_2} + ... + {n_r} = m, $$这 `m` 个元素的全排列叫做不尽相异的 `m` 各元素的全排列.易证不尽相异的 `m` 个元素的全排列计算公式为$$X = \dfrac{{m!}}{{{n_1}! \cdot {n_2}!...{n_r}!}}$$.

事实上,若 `m` 个元素互不相同,则全排列数有 `m!` ,但其中有 `{n_i}` 个元素相同,它们之间任意交换顺序(共有 `{n_i}!` 种交换顺序的方法)( `i = 1,2,...,r` ),得到的是同一排列,故不同的排列个数位 `\frac{{m!}}{{{n_1}! \cdot {n_2}!...{n_r}!}}` .

复数乘法的几何意义

由对应于被乘数所对应的向量\({z_2} = {r_2}(\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2})\),按逆时针方向旋转一个角度\({\theta _2}\)(\({\theta _2} > 0\),若\({\theta _2} < 0\),就按顺时针方向旋转一个角度\(|{\theta _2}|\)),再把模变为原来的\({r_2}\)倍(\({r_2} > 1\),应伸长;\({r_2} < 1\),应缩短;\({r_2} = 1\)模长不变),所得到的向量就表示积\({z_1}{z_2}\).

复数的三角形式

复数三角形

\(z = r(\cos \theta  + i\sin \theta )(r \ge 0)\)称为复数的三角形式,\(r\)为模,\(\theta \)为辐角,若\(\theta  \in [0,2\pi )\),则称\(\theta \)为辐角主值.复数的三角形式目前在高考中属于“超纲”内容,但在自主招生考试中则不属于“超纲”.这一点请考生务必注意.有关三角形式的运算如下:

(1)\({r_1}(\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}){r_2}(\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}) = {r_1}{r_2}[\cos ({\theta _1} + {\theta _2}) + i\sin ({\theta _1} + {\theta _2})]\);

递推数列

1. \({a_{n + 1}} = {a_n} + f\left( n \right)\)类型

方法:迭加法(累加法).

\({a_2} = {a_1} + f\left( 1 \right)\),\({a_3} = {a_2} + f\left( 2 \right)\),…,\({a_n} = {a_{n - 1}} + f\left( {n - 1} \right)\),

得\({a_n} = {a_1} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^{n - 1} f\left( k \right)\).

2. \({a_{n + 1}} = {a_n}f\left( n \right)\)类型

方法:迭代法.

\({a_2} = {a_1}f\left( 1 \right)\),\({a_3} = {a_2}f\left( 2 \right)\),…,\({a_n} = {a_{n - 1}}f\left( {n - 1} \right)\),

三倍角公式

三倍角公式:

\[\sin 3\alpha  = 3\sin \alpha  - 4{\sin ^3}\alpha ,\cos 3\alpha  = 4{\cos ^3}\alpha  - 3\cos \alpha \]

\[\sin \alpha \sin ({60^0} + \alpha )\sin ({60^0} - \alpha ) = \frac{1}{4}\sin 3\alpha \]

\[\cos \alpha \cos ({60^0} + \alpha )\cos ({60^0} - \alpha ) = \frac{1}{4}\cos 3\alpha \]

\[\tan \alpha \tan ({60^0} + \alpha )\tan ({60^0} - \alpha ) = \tan 3\alpha \]

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