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角的有关概念

  • 任意角

角的定义:一条射线 `OA` 由原来的位置 `OA`,绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置 `OB`,就形成了角 `α`。其中射线 `OA` 叫角 `α` 的始边,射线 `OB` 叫角 `α` 的终边,`O` 叫角 `α` 的顶点.

角的代数表示: 为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角`α`”或“`∠α`”可以简记作“`α`”。如果`α`是零角,那么`α=0°`.

角的概念,成长吧啊

凸函数 凹函数

函数定义:  设 `f(x)` 定义于 `[a,b]`,`∀x_1,x_2∈[a,b]`, 都有\(f(\frac{{{{\rm{x}}_1} + {x_2}}}{2}) \le \frac{{f(x{{\kern 1pt} _1}) + f({x_2})}}{2}\),则称\(f(x)\)在 `[a,b]` 上的凸函数.

等价的有:

若 `f[tx_1+(1−t)x_2]≤tf(x_1)+(1−t)f(x_2),0<t<1` 则称 `f(x)` 为 `[a,b]` 上的凸函数;

若 `f[tx_1+(1−t)x_2]≥tf(x_1)+(1−t)f(x_2),0<t<1` 则称 `f(x)` 为 `[a,b]` 上的凹函数.

排序不等式

定理 (排序不等式 sequence inequality, 又称排序原理) 设 `a_1 \leqslant a_2 \cdots \leqslant a_n,~~b_1 \leqslant b_2 \cdots  \leqslant b_n` 为两组实数, `c_1,~c_2,\cdots,~c_n` 是 `b_1,~b_2,\cdots,~b_n` 的任一排列, 则 $$a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots +a_nb_1\leqslant a_1c_1+a_2c_2+\cdots +a_nc_n \leqslant a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n,$$ 当且仅当 `a_1=a_2=\cdots=a_2` 或 `b_1=b_2=\cdots=b_n` 时, 反序和等于顺序和.


排序不等式的证明

不等式恒成立问题

不等式恒成立问题

(1)如果能分离参数,则`f(x) > m`恒成立` \Leftrightarrow f{(x)_{\min }} > m`;`f(x) < m`恒成立` \Leftrightarrow f{(x)_{\max }} < m`.

(2)若通过恒等变形不等直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即若`f(a) \ge g(x)`恒成立,只需求出   `g{(x)_{\max }}`,则`f(a) \ge g{(x)_{max}}`,然后解不等式求出参数 `a`的取值范围;

若`f(a) \le g(x)`恒成立,只需求出`g{(x)_{\min }}`,则`f(a) \le g{(x)_{min}}`然后解不等式求出参数`a`的取值范围.

函数的奇偶性

偶函数: 一般地, 如果对于函数 `f(x)` 的定义域内任意一个 `x`, 都有 `f(-x)=f(x)`, 那么函数 `f(x)` 就叫做偶函数(even function). 

奇函数: 一般地, 如果对于函数 `f(x)` 的定义域内任意一个 `x`, 都有 `f(-x)=-f(x)`, 那么函数 `f(x)` 就叫做奇函数(odd function). 

(1)求定义域, 看定义域是否关于原点对称;

(2)更具 `f(x)` 和 `f(-x)` 的关系判定奇偶性.

《周易》对中国古代数学的影响

中国古代数学自汉代《九章算术》形成体系,发展至宋元时期达到高峰,期间出现了不少重要的数学著作。汉唐时期有“算经十书”,除《九章算术》之外,还有《周髀算经》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》,以及《数术记遗》;宋元时期有数学四大家,包括秦九韶撰《数书九章》,李冶撰《测圆海镜》,杨辉撰《详解九章算法》、《杨辉算法》等,朱世杰撰《四元玉鉴》。宋元之后,明代有著名数学家程大位撰《算法统宗》,等等。虽然《周易》算不上是一部专门的数学著作,但是,它作为古代重要典籍,尤其是作为儒家经典,流传于世,对于中国古代数学具有重要的影响。研究自汉代《九章算术》至宋元时期以及明代的数学发展可以看出,那些流传久远的重要的数学著作中大都留存着《周易》影响的痕迹。 

一.《周易》与数学的起源 

拉格朗日

拉格朗日

拉格朗日(Lagrange, Joseph-Louis)是法国数学家、力学家、天文学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵;1813年4月10日卒于巴黎。拉格朗日,成长吧啊,数学

拉格朗日的祖父是法国人、祖母是意大利人。他的父亲是一位富商,曾想把拉格朗日培养成自己商业上的接班人,因此希望他学法律。但拉格朗日在中学时代读了天文学家哈雷写的一篇谈论计算方法的小品文——《在解决求光学玻璃的焦点问题时,近世代数优越性的一个实例》之后,就对数学和天文学发生了兴趣,不久进入都灵皇家炮兵学院学习。通过自学的方式钻研数学,尚未毕业就担任了该院的部分数学教学工作。18岁时开始撰写论文,19岁被证式聘任为该院的数学教授。

1755年,拉格朗日开始和欧拉通信讨论"等周问题",从而奠定了变分法的基础。

一元二次方程

  • 一元二次方程的概念

定义: 只含有一个未知数, 且未知数的次数是2, 这样的整式方程叫一元二次方程.

一元二次方程的标准形式: `ax^2+bx+c=0 (a \neq 0)`.

  • 一元二次方程的解法

(1)直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法. 直接开平方法的理论依据是平方根的定义. 例如: `(x-1)^2=4`中`x-1`是4的算术平方根, 则`x-1= \pm 2`…… .

(2)配方法

配方法是根据完全平方公式把等式一边配成完全平方式, 然后用开放法解出结果.

柯西

柯西(A.L.Canchy,1789-1857),法国数学家。柯西1789年8月2l日出生生于巴黎,他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员,柯西在幼年时,他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室,并且在那里指导他进行学习,因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和[[拉格朗日|拉格朗日]]两位大数学家。他们对他的才能十分常识;拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家,但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。1805年,年仅十六岁的他以第二名的成绩考入巴黎综合工科学校,1807年考入桥梁公路学校,1810年以优异成绩毕业,前往瑟堡参加海港建设工程。1813年回到巴黎综合工科学校任教,1816年晋升为教授。柯西 成长吧啊

华罗庚

工作到最后一天的华罗庚(1910—1985)

1985年6月12日,在东京一个国际学术会议上,75岁的华罗庚教授用流利的英语,作了十分精彩的报告。当他讲完最后一句话,人们还在热烈鼓掌时,他的身子歪倒了。华罗庚 成长吧啊

华罗庚出生于江苏省金坛县一个小商人家庭,从小喜欢数学,而且非常聪明。一天老师出了一道数学题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”“23!”老师的话音刚落,华罗庚的答案就脱口而出,老师连连点头称赞他的运算能力。可惜因为家庭经济困难,他不得不退学去当店员,一边工作,一边自学。18岁时,他又染上伤寒病,与死神搏斗半年,虽然活了下来,但却留下终身残疾——右腿瘸了。

高斯

高斯(Gauss)

高斯 成长吧啊 czbaa

德国数学家、物理学家、天文学家。近代数学的奠基者之一。1777年4月30 日生于德国布伦斯维克(Braunschweig)一个贫民家庭。童年时就表现了出众的才华。1791年高斯的才华被布伦斯维克公爵所赏识,公爵主动承当了他的赞助人。次年,高斯进入卡罗林学院深造。1795年又被送到哥庭根大学。

在哥庭根大学的第一年,高斯发明了最小二乘法,第二年又严格地得出了可用尺规作出的正多边形条件,从而宣布了自欧几里德以来几何作图上的一项重大发明:发现正十七边形的作图法。从1795--1798年的大学三年间,高斯的数学成就涉及到数论、代数、分析、几何、概率论等各个方面。高斯后来发表的成果,都可以在这时追溯出其思想的脉络。

笛卡尔

笛卡儿(Rene.Descartes)是法国哲学家、数学家、物理学家、解析几何的奠基人之一.笛卡尔  成长吧啊

有一次,笛卡儿生病,躺在床上,突然,他看到屋顶上的一只蜘蛛拉着长丝垂下来,灵机一动,他想,可以把蜘蛛看作一个点,它在屋子里上、下、左、右运动,能不能用一组有序的实数,把蜘蛛某一时刻的位置确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙,还有地面总共可以交出3条直线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的3条直线作为3根数轴,那么空间中任何一点的位置,不就可以用在这3根数轴上找到的有序实数来表示吗?

阿基米德

"数学之神"--阿基米德

阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养,11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称"智慧之都"的名城里,阿基米德博阅群书,汲取了许多的知识,并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生,钻研《几何原本》。阿基米德,成长吧啊

后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者,并且享有"力学之父"的美称。其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理,又用几何演泽方法推出许多杠杆命题,给出严格的证明。其中就有著名的"阿基米德原理",他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部,但多数是几何著作,这对于推动数学的发展,起着决定性的作用。

阿贝尔

阿贝尔(Abel, NielsHanrik, 1802-1829)

阿贝尔  成长吧啊 czbaa挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛,1829年4月6日卒于弗鲁兰。 15岁时优秀的数学教师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天才,对他给予指导。1821年阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯,并未引起重视。

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